ήχος, διαστήματα, κλίμακες: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
(Καμία διαφορά)
|
Αναθεώρηση της 00:00, 1 Ιανουαρίου 1970
Σημείωση
Τα παρακάτω είναι παρουσίαση ενός θέματος που είναι ιδιαίτερα τεχνικό και ίσως δύσκολο και δεν αφορά άμεσα τους λαϊκούς δρόμους αλλά γενικότερα την θεωρία της Μουσικής, παρόλα αυτά δίνει κάποιες εξηγήσεις σε θέματα που αφορούν τις κλίμακες, τον συγκερασμό, τα διαστήματα που χρησιμοποιούν οι διάφορες θεωρίες κ.λ.π. που είναι χρήσιμα σε κάθε έναν που ασχολείται με την μουσική
Ήχος, ακοή και τονικό ύψος
Ο Ήχος είναι κυματικές διαταραχές στον ατμοσφαιρικό αέρα οι οποίες μπορούν να διεγείρουν το ανθρώπινο αυτί. Οι ήχοι γύρω του χωρίζονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες: Στους θορύβους και στους μουσικούς ήχους.
Ήχος, συχνότητα, μήκος κύματος
Ο ήχος παράγεται από ταλαντώσεις σωμάτων, που δημιουργούν πυκνώματα και αραιώματα στον αέρα που τα περιβάλει, όπως δημιουργούνται τα κύματα σε μια ήρεμη επιφάνεια νερού όταν πέφτει μια πέτρα. Η έννοια του μήκους κύματος εκφράζει την απόσταση δύο διαδοχικών πυκνωμάτων ή αραιωμάτων, ενώ η συχνότητα μας λέει πόσα κύματα περνούν από ένα σημείο κάθε δευτερόλεπτο. Μονάδα μέτρησης της συχνότητας είναι το Hz (κύκλοι ανά δευτερόλεπτο). Οι διαταραχές που μπορούν να χαρακτηριστούν ήχοι είναι περιορισμένες όσον αφορά τη συχνότητά τους. Ένα μέσο ανθρώπινο αυτί μπορεί να ακούσει συχνότητες μεταξύ 30 Hz και 16 KHz. Τα παραπάνω αφορούν κυρίως την περίπτωση που αναφερόμαστε σε έναν απλό αρμονικό ήχο. Η ταλάντωση σ’ αυτή την περίπτωση είναι ημιτονοειδής, δηλαδή όπως στο σχήμα 1.
Σε αυτή την περίπτωση η συχνότητα του ήχου είναι μονοσήμαντη και αυστηρά καθορισμένη, αλλά δυστυχώς απλούς αρμονικούς ήχους δεν παράγουν τα μουσικά όργανα αλλά μόνο διάφορα ηλεκτρονικά μέσα.
Ένα ηχητικό σήμα της μορφής του σχήματος 2 δεν έχει καμία καθορισμένη συχνότητα. Αυτό το ηχητικό σήμα θα μπορούσε να χαρακτηριστεί θόρυβος.
Πως ακούμε;
Από τα όσα γνωρίζουμε για τον μηχανισμό της ακοής, οι ταλαντώσεις από το τύμπανο μεταδίδονται στον κοχλία. Ο τελευταίος περιέχει στο εσωτερικό του κύτταρα τα οποία έχουν στην άκρη ένα μικρό τριχίδιο, το οποίο συντονίζεται όταν οι δονήσεις από το τύμπανο έχουν μια αρκετά συγκεκριμένη συχνότητα. Το μήκος του τριχιδίου αυτού κατανέμεται ομοιόμορφα, ώστε να υπάρχουν κύτταρα με μεγάλο τριχίδιο ώστε να συντονίζονται στις χαμηλές συχνότητες, ολοένα και μεγαλύτερα κύτταρα, μέχρι τα κύτταρα που συντονίζονται στις πολύ υψηλές συχνότητες και έχουν πολύ μικρό τριχίδιο. Είναι φανερό πως αυτή η διάταξη συντονίζεται σε απλούς αρμονικούς ήχους, με την έννοια πως ένας απλός αρμονικός ήχος θα διεγείρει πολύ λίγα τριχίδια μόνο. Αυτή η πληροφορία μεταβιβάζεται στον εγκέφαλο και δημιουργείται το αίσθημα του ήχου. Είναι λοιπόν φανερό πως εκ της κατασκευής του, το ανθρώπινο αυτί αναλύει το ηχητικό σήμα σε μια επαλληλία απλών ήχων· το ανθρώπινο αυτί κάνει με τρόπο πρακτικό, ανάλυση Fourier με ημίτονα.
Ανάλυση ήχων
Αν και κανένα μουσικό όργανο δεν παράγει απλούς αρμονικούς ήχου, παρ’ όλα αυτά δίνει σαφέστατη εικόνα τονικού ύψους. Το όλο ζήτημα γίνεται πιο σαφές με την φασματική ανάλυση των ηχητικών σημάτων. Στην περίπτωση των ήχων η ανάλυση σε ημίτονα μοιάζει να είναι η πιο κατάλληλη και αυτό δεν είναι τυχαίο. Οφείλεται στον τρόπο με τον οποίο το ανθρώπινο αυτί αντιλαμβάνεται τους ήχους. Η ανάλυση Fourier του πρώτου κύματος θα δώσει μια αιχμηρή κορυφή ακριβώς στην συχνότητα της ημιτονοειδούς ταλάντωσης (βλέπε σχήμα 3).
Το φάσμα του δευτέρου σήματος, σε αντίθεση με το παραπάνω, δεν έχει καμία προεξέχουσα συχνότητα. Προκύπτει μια συνεχής καμπύλη, όπως αυτή του σχήματος 4.
Θα μπορούσε κάποιος να ισχυριστεί ότι και εδώ υπάρχει μια κορυφή και ότι θα μπορούσαμε να έχουμε την αίσθηση μια συγκεκριμένης συχνότητας. Είναι φανερό ότι υπάρχει μια κορυφή, η οποία όμως δεν είναι αρκετά αιχμηρή. Το ανθρώπινο αυτί έχει αρκετά μεγάλη φασματική διακριτική ικανότητα και μπορεί να αντιληφθεί πως στο παραπάνω φάσμα δεν υπάρχει έντονα εντοπισμένη συχνότητα. Στην περίπτωση του πρώτου σήματος μπορεί κάποιος με πολλή σιγουριά (αν δεν είναι παράφωνος) να «τραγουδήσει» την νότα που ακούει ενώ στην δεύτερη δεν καταλαβαίνει κάποια συγκεκριμένη νότα.
Σαφές τονικό ύψος δεν έχουν μόνο οι απλοί αρμονικοί ήχοι. Ακόμη και ένας περίπλοκος ήχος μπορεί να δίνει σαφές τονικό ύψος. Αυτό συμβαίνει όταν στο ηχητικό σήμα υπάρχει μια σαφής επαναληπτικότητα, δηλαδή είναι περιοδικό. Ένα τέτοιο ηχητικό σήμα φαίνεται στο σχήμα 5.
Ο ήχος του παραπάνω σχήματος δεν είναι απλός αρμονικός, έχει όμως καλώς καθορισμένη περίοδο. Γι αυτό το λόγο το φάσμα του προκύπτει γραμμικό, δηλαδή όχι συνεχές αλλά με έντονες κορυφές, όπως φαίνεται στο σχήμα 6. Το σημαντικό σε αυτή την περίπτωση δεν είναι η εμφάνιση κορυφών αλλά η σχέση των συχνοτήτων τους.
Κορυφές στο φάσμα εμφανίζονται όταν ο τελικός ήχος είναι συνισταμένη ενός πλήθους αρμονικών ήχων. Το τελικό αποτέλεσμα της σύνθεσης αρμονικών ήχων όμως δεν είναι πάντα περιοδικό. Για να συμβαίνει το τελευταίο πρέπει οι λόγοι των συχνοτήτων των αρμονικών ήχων να είναι ρητοί αριθμοί. Στην περίπτωση της χρονοσειράς του σχήματος 5, η περίοδος Τ είναι η ελάχιστη χρονική διάρκεια κατά την οποία η χρονοσειρά επαναλαμβάνεται. Αυτή η περίοδος ορίζει και την χαμηλότερη συχνότητα την οποία θα συναντήσουμε στο φάσμα, την ωο=1/Τ. Λαμβάνοντας υπ’ όψη το γεγονός ότι οποιοδήποτε ημίτονο πολλαπλάσιας συχνότητας της ω ο θα είναι επίσης περιοδικό κατά την χρονική διάρκεια Τ, καταλαβαίνουμε ότι στο φάσμα θα εμφανίζονται συχνότητες ω1, ω2, ω3, τέτοιες ώστε να είναι ακέραια πολλαπλάσια της ωο. ∆ηλαδή ισχύει: ων = ν*ωο , όπου ν ακέραιος. Η παραπάνω σχέση σημαίνει ότι οι συχνότητες των κορυφών στο φάσμα είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Και αντίστροφα, αν συμβαίνει το τελευταίο τότε η χρονοσειρά είναι περιοδική, με περίοδο Τ=1/ ωο.
Το κάθε όργανο λόγω της κατασκευής του και της μορφής του ηχείου του ενισχύει και τονίζει άλλες αρμονικές και σ’ αυτό οφείλεται η διαφορετική χροιά του. Όσον αφορά την έννοια του συντονισμού που αναφέραμε πιο πάνω γίνεται φανερό ότι εφόσον ακούγεται εκτός από την βασική συχνότητα και μια σειρά άλλων συχνοτήτων μέσω των αρμονικών, θα συντονίζονται και όλες οι χορδές που κουρδίζουν σ’ αυτές και θα παράγουν και αυτές με την σειρά τους νέες σειρές αρμονικών. Απ’ αυτό μπορούμε να δούμε και την σημασία των διαφορετικών κουρδισμάτων που μπορούν να γίνουν σε κάθε όργανο.
Μουσικά διαστήματα
∆εν είναι ιδιαίτερα δύσκολο να φανταστεί κάποιος το τι είναι μουσικό διάστημα. Όταν δύο ήχοι με σαφή τονική αίσθηση ακούγονται ταυτόχρονα, χωρίς όμως να έχουν ίσες θεμελιώδεις συχνότητες ωο, τότε σχηματίζουν ένα μουσικό διάστημα. Για παράδειγμα δύο κλαρινέτα, που το ένα παίζε «ντο» και το άλλο «ρε», σχηματίζουν ένα μουσικό διάστημα. Ο Αριστόξενος δίνει τον ακόλουθο πιο αυστηρό ορισμό για το μουσικό διάστημα: «Διάστηµα ἐστί τὸ ὑπὸ δῦο φθὸγγων ωρισµὲνον, µὴ τὴν ἀυτῆν τὰσιν ἐχὸντων» Η λέξη «τὰσιν» χρησιμοποιείται με την έννοια του τεντώματος μια χορδής που παράγει ήχο. Αν δύο όμοιες χορδές δεν έχουν την ίδια τάση, τότε παράγουν διαφορετική συχνότητα και σχηματίζουν ένα μουσικό διάστημα. Και άλλοι αρχαίοι φιλόσοφοι δίνουν επίσης ορισμούς για το μουσικό διάστημα κινούμενοι στο ίδιο ύφος. Οι αρχαίοι φιλόσοφοι και μαθηματικοί είχαν αφιερώσει πολύ χρόνο στην μελέτη και στην ανακάλυψη των μουσικών διαστημάτων. Οι μελέτες γινόντουσαν πάνω στο μονόχορδο: ένα απλούστατο έγχορδο όργανο που όπως προδίδει και το όνομά του είχε μία χορδή τεντωμένη και ένα κινούμενο καβαλάρη. Με αυτό τον τρόπο γίνεται μελέτη του μουσικού διαστήματος και της σχέσης των μηκών του μονόχορδου (Σχήμα 7). Η παράδοση της μουσικής μας δίνει κάποια χαρακτηριστικά διαστήματα.
• Το διάστημα της οκτάβας είναι το πιο αρμονικό μουσικό διάστημα και ο λόγος των συχνοτήτων των δύο φθόγγων που το σχηματίζουν είναι 2.
• Το μουσικό διάστημα της καθαρής πέμπτης κατασκευάζεται από δύο ήχους με λόγο συχνοτήτων ίσο με 3/2 και είναι το αμέσως επόμενο πιο αρμονικό από την οκτάβα.
• Το μουσικό διάστημα της καθαρής τέταρτης κατασκευάζεται από δύο ήχους με λόγο συχνοτήτων ίσο με 4/3 και είναι το αμέσως επόμενο πιο αρμονικό από την καθαρή πέμπτη.
• Η καθαρή Πέμπτη και η καθαρή τέταρτη σχηματίζουν μεταξύ τους το μουσικό διάστημα του επόγδοου τόνου το οποίο παράγεται από συχνότητες με λόγο 9/8.
Όλα τα παραπάνω σημαίνουν ότι έχουμε δύο ήχους με σαφές τονικό ύψος, δηλαδή δύο ήχους που ο καθένας έχει μια θεμελιώδη συχνότητα ω0 και ω′ 0 αντίστοιχα, εν γένει διαφορετικές μεταξύ τους, και όλη την ακολουθία των αρμονικών της καθεμίας. Αυτοί οι δύο ήχοι σχηματίζουν μουσικό διάστημα οκτάβας αν: ω′ 0 = 2ω0. Εξάλλου, σχηματίζουν μουσικό διάστημα καθαρής πέμπτης αν: ω′ 0 = 3/2 ω0, κ.τ.λ. Είναι φανερό λοιπόν ότι τα μουσικά διαστήματα από τη σκοπιά των θετικών επιστημών είναι λόγοι συχνοτήτων. Αυτό σημαίνει πως η συχνότητα του σολ είναι 3/2=1.5 φορές μεγαλύτερη από τη συχνότητα του ντο, ενώ η συχνότητα του φα 4/3=1.33333 φορές μεγαλύτερη. Όσον αφορά τις πράξεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης λόγων, αυτή γίνεται με τον πολλαπλασιασμό και την διαίρεση αντίστοιχα των αναλογιών τους. Έτσι για να βρούμε την διαφορά της καθαρής πέμπτης από την καθαρή τέταρτη θα διαιρέσουμε τους λόγους τους Έτσι 3/2 / 4/3 = 9/8 είναι ο λόγος του τόνου.
Με αυτό τον τρόπο οι φιλόσοφοι της κλασσικής και ελληνιστικής περιόδου, με του πυθαγορείους να ξεχωρίζουν, ανακάλυπταν τα μουσικά διαστήματα, χρησιμοποιώντας όμως μήκη χορδών και όχι συχνοτήτων. Γνωρίζουμε σήμερα ότι αυτά τα δύο μεγέθη είναι αντιστρόφως ανάλογα.
Ας πάρουμε για παράδειγμα το μουσικό διάστημα της οκτάβας: η θεμελιώδης συχνότητα της οκτάβας να είναι διπλάσια της θεμελιώδους συχνότητας της βασικής νότας. Ας δούμε τι συμβαίνει στο φάσμα το ηχητικού αποτελέσματος της συνήχησης τους (σχήμα 8). Ο ήχος της βασική νότας θα έχει την θεμελιώδη συχνότητα του, ω0, και όλη την ακολουθία των αρμονικών του, nω0. Το ίδιο συμβαίνει και για τον φθόγγο στην οκτάβα. Όπως φαίνεται στο σχήμα 8, η βασική συχνότητα και όλοι οι αρμονικοί του φθόγγου στην οκτάβα συμπίπτουν με τους αρμονικούς του βασικού φθόγγου.
Και στην περίπτωση του διαστήματος καθαρής πέμπτης έχουμε ταύτιση αρμονικών, όπως φαίνεται στο σχήμα 9. Σε αυτή την περίπτωση δεν ταυτίζονται όλοι οι αρμονικοί του φθόγγου στην πέμπτη με αυτούς της βασικής. Ταυτίζονται οι «μισοί» κατά κάποιο τρόπο. Η πρώτη ταύτιση εμφανίζεται στον πρώτο αρμονικό του φθόγγου στην πέμπτη με τον δεύτερο αρμονικό της βασικής.
Είναι λοιπόν φανερό από τα παραπάνω ότι για να είναι ένα μουσικό διάστημα αρμονικό πρέπει να εκφράζεται ως ρητός λόγος συχνοτήτων, ώστε να έχουμε ταύτιση αρμονικών. Ακόμη και όταν δεν υπάρχουν αρμονικοί, όταν έχουμε δηλαδή δύο απλού αρμονικούς ήχους, το ανθρώπινο αυτί τους φαντάζεται. Οπότε ένα φυσικό μουσικό διάστημα σημαίνει ρητός λόγος συχνοτήτων.
Κατασκευή κλιμάκων
Φυσικές κλίμακες
Πυθαγόρια κλίμακα
Σαν συμπέρασμα από τα παραπάνω θα μπορούσαμε να πούμε ότι η αίσθηση του "αρμονικού ακούσματος" δεν εξαρτάται μόνο από πολιτισμικές και υποκειμενικές συνθήκες αλλά κατά βάση είναι αντικειμενική. Όλοι οι μουσικοί πολιτισμοί δέχονται σαν αρμονικά τα διαστήματα οκτάβας και καθαρής πέμπτης. Έτσι λοιπόν οι πυθαγόρειοι προσπάθησαν να κατασκευάσουν μιά κλίμακα με αρμονικά διαστήματα χρησιμοποιώντας μόνο τα κατ' εξοχήν αρμονικά διαστήματα της οκτάβας και της καθαρής πέμπτης. Η τεχνική ήταν σχετικά απλή. Από έναν τόνο ανεβαίνουμε μία οκτάβα (λόγος 2), στην συνέχεια κατεβαίνουμε μία καθαρή πέμπτη (λόγος 3/2), ανεβαίνουμε ξανά μία οκτάβα, κατεβαίνουμε δύο πέμπτες και επαναλαμβάνοντας συνεχώς αυτή την διαδικασία έως ότου ξαναβρεθούμε στον αρχικό τόνο, σχηματίζουμε μία κλίμακα (διατονική κλίμακα). Η όλη διαδικασία φαίνεται στο παρακάτω σχήμα
Χρησιμοποιώντας γιά λόγους σύγκρισης και μόνο τα ονόματα των βαθμίδων που χρησιμοποιούμε σήμερα στην δυτική μουσική (ντο - ρε - μι - φα - σολ - λα - σι - ντο) θα μπορούσαμε να δούμε παρακάτω την πυθαγόρεια κλίμακα όπως προκύπτει με την παραπάνω διαδικασία, όπως και τους λόγους των διαστημάτων τόσο από την αρχή όσο και μεταξύ των βαθμίδων της κλίμακας στο παρακάτω σχήμα.
Τα διαστήματα έχουν υπολογιστεί και σε cents. Μπορούμε γιά λόγους σύγκρισης να πούμε ότι στα συγκερασμένα όργανα που παίζουμε η οκτάβα είναι 1200 cents η καθαρή πέμπτη 700 cents ο τόνος 200 cents και το ημιτόνιο 100 cents.
| κλίμακα Πυθαγόρα | ||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| φθόγγος | Do | Re | Mi | Fa | Sol | La | Si | Do | ||||||||
| λόγος από αρχή | 1/1 | 9/8 | 81/64 | 4/3 | 3/2 | 27/16 | 243/128 | 2/1 | ||||||||
| λόγος μεταξύ | 9/8 | 9/8 | 256/243 | 9/8 | 9/8 | 9/8 | 256/243 | |||||||||
| αναλογία από αρχή | 1 | 1,125 | 1,265625 | 1,333333 | 1,5 | 1,6875 | 1,8984375 | 2 | ||||||||
| cents από αρχή | 0 | 203,91 | 407,82 | 498,04 | 701,96 | 905,87 | 1109,78 | 1200 | ||||||||
| cents μεταξύ | 203,91 | 203,91 | 90,22 | 203,91 | 203,91 | 203,91 | 90,22 | |||||||||
Σχ. Πυθαγόρεια κλίμακα
Όπως μπορούμε να δούμε η κλίμακα δομείται από διαστήματα τόνου τα οποία είναι λίγο μεγαλύτερα από τον τόνο της συγκερασμένης κλίμακας και ονομάζονται μείζονες τόνοι και ημιτονίων που είναι μικρότερα από τα συγκερασμένα ημιτόνια αλλά και μικρότερα από το μισό του τόνου και ονομάζονται διέσεις ή λήμματα. Έτσι λοιπόν ο μείζον τόνος χωρίζεται σε ένα διάστημα με λόγο 256/243 που όπως είπαμε ονομάζεται λήμμα και ένα διάστημα με λόγο 2187/2048 που ονομάζεται αποτομή. Ένα άλλο κύριο χαρακτηριστικό που μπορούμε να δούμε είναι ότι η κλίμακα αποτελείται από δύο όμοιες δομές που χωρίζονται από έναν τόνο. Οι δομές αυτές λέγονται τετράχορδα. Η δομή που περιλαμβάνει ένα τετράχορδο και ένα μείζονα τόνο λέγεται πεντάχορδο. Οι δομές αυτές δεν είναι μόνο θεωρητικές κατασκευές αλλά είναι οι κύριες μονάδες σύνθεσης, εφόσον οι επιμέρους φράσεις που αναπτύσσονται κάθε φορά σε μια μουσική σύνθεση κινούνται στα όρια τους.
Μια άλλη σημαντική παρατήρηση που μπορούμε να κάνουμε αν εξετάσουμε τις αναλογίες που φαίνονται δεξιά στο σχήμα 10 είναι ότι όταν ολοκληρωθεί ο κύκλος κατασκευής της κλίμακας και επανέλθουμε στον αρχικό τόνο δεν έχουμε αναλογία 1 όπως θα έπρεπε αλλά περίπου 0,98654. Αυτή η διαφορά που σαν λόγος είναι 531441/524288 είναι το σφάλμα της κλίμακας και ονομάζεται πυθαγόρειο κόμμα ή διατονικό κόμμα και είναι περίπου ένα ένατο του μείζονος τόνου ή όσο η διαφορά μεταξύ λήμματος και αποτομής. Γιά την μουσική πράξη της εποχής δεν είχε ιδιαίτερη σημασία εφόσον όπως είπαμε οι μουσικές φράζεις περιορίζονταν στην έκταση των τετραχόρδων - πενταχόρδων.
Κλίμακα Δίδυμου
Η κλίμακα του Πυθαγόρα παρότι έχει αριθμητική ακρίβεια έχει άκουσμα σκληρό και δεν μπορούσε να αναλύσει την μουσική πρακτική στο σύνολό της, εφόσον οι συνθέσεις κινούνταν σε κλίμακες με λεπτότερους διαχωρισμούς και πιο μαλακά ακούσματα. Έτσι ο Δίδυμος στους Αλεξανδρινούς χρόνους εισάγει μια νέα κλίμακα με μαλακό άκουσμα χρησιμοποιωντας τους πρώτους λόγους των αρμονικών. Έτσι 2/1 είναι η οκτάβα, 3/2 η πέμπτη καθαρή, 4/3 η τέταρτη καθαρή και 5/4 η φυσική τρίτη μεγάλη. Χρησιμοποιώντας ακόμα το 9/8 που είναι ο λόγος του μείζονα τόνου έχουμε το πρώτο πεντάχορδο το οποίο και επαναλαμβάνει πάνω από την πέμπτη και έτσι προκύπτει η παρακάτω κλίμακα.
| κλίμακα μαλακή Διδύμου | ||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| φθόγγος | Do | Re | Mi | Fa | Sol | La | Si | Do | ||||||||
| λόγος από αρχή | 1/1 | 9/8 | 5/4 | 4/3 | 3/2 | 27/16 | 15/8 | 2/1 | ||||||||
| λόγος μεταξύ | 9/8 | 10/9 | 16/15 | 9/8 | 9/8 | 10/9 | 16/15 | |||||||||
| αναλογία από αρχή | 1 | 1,125 | 1,25 | 1,333333 | 1,5 | 1,6875 | 1,875 | 2 | ||||||||
| cents από αρχή | 0 | 203,91 | 386,31 | 498,04 | 701,96 | 905,87 | 1088,27 | 1200 | ||||||||
| cents μεταξύ | 203,91 | 182,40 | 111,73 | 203,91 | 203,91 | 182,40 | 111,73 | |||||||||
Αυτή η κλίμακα δομείται με τρία είδη διαστημάτων τον μείζονα τόνο που ήδη γνωρίσαμε, τον ελάσσονα τόνο με λόγο 10/9 και τον ελάχιστο τόνο με λόγο 16/15. Και σε αυτήν την κλίμακα υπάρχει σφάλμα αντίστοιχο με το πυθαγόρειο κόμμα που ονομάζεται κόμμα του Δίδυμου ή συντονικό κόμμα ή απλά κόμμα και έχει λόγο 81/80.
Κλίμακα Zarlino
Μία παραλλαγή της παραπάνω κλίμακας είναι η κλίμακα του Zarlino, εφημέριου του Αγίου Πέτρου, ο οποίος εναλλάσσει την έκτη με την έβδομη βαθμίδα της κλίμακας έτσι ώστε να μπορούν να χρησιμοποιηθούν τρίφωνες συγχορδίες ως συνοδεία. Τα χαρακτηριστικά της κλίμακας του Δίδυμου φυσικά συνεχίζουν να ισχύουν. Η κλίμακα αυτή είναι γνωστή και σαν just intonation
| κλίμακα Zarlino | ||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| φθόγγος | Do | Re | Mi | Fa | Sol | La | Si | Do | ||||||||
| λόγος από αρχή | 1/1 | 9/8 | 5/4 | 4/3 | 3/2 | 5/3 | 15/8 | 2/1 | ||||||||
| λόγος μεταξύ | 9/8 | 10/9 | 16/15 | 9/8 | 10/9 | 9/8 | 16/15 | |||||||||
| αναλογία από αρχή | 1 | 1,125 | 1,25 | 1,333333 | 1,5 | 1,666666 | 1,875 | 2 | ||||||||
| cents από αρχή | 0 | 203,91 | 386,31 | 498,04 | 701,96 | 884,36 | 1088,27 | 1200 | ||||||||
| cents μεταξύ | 203,91 | 182,40 | 111,73 | 203,91 | 182,40 | 203,91 | 111,73 | |||||||||
Συγκερασμένες κλίμακες
Από την αρχαιότητα είχε γίνει προσπάθεια για τον χωρισμό της οκτάβας σε ίσα μέρη έτσι ώστε να μηδενιστεί το σφάλμα των φυσικών κλιμάκων. Παρόλα αυτά η ανεπάρκεια των μαθηματικών της εποχής δεν επέτρεψε να εκφραστεί μαθηματικά κάποιο μοντέλο συγκερασμού, παρότι υπήρχε ήδη από τους αλεξανδρινούς χρόνους πρόταση για χωρισμό της οκτάβας σε 12 τμήματα. Αργότερα μετά την ανάπτυξη της θεωρίας των λογαρίθμων και της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων, προτάθηκαν διάφορες προσεγγίσεις για τον συγκερασμό της κλίμακας. Οι σπουδαιότερες είναι οι παρακάτω.
Ο γενικός τύπος μέτρησης ενός μουσικού διαστήματος είναι:
Μ= k (ln λ / ln 2)
όπου k, ο αριθμός των τμημάτων στα οποία χωρίζεται η οκτάβα, λ ο αριθμητικό λόγος των συχνοτήτων του μουσικού διαστήματος που θέλουμε να μετρήσουμε και M, ο αριθμός των τμημάτων της οκτάβας που δίνουν αυτό το διάστημα.
| Τιμή σταθεράς και ονομασία μονάδας των μουσικών διαστημάτων | |
|---|---|
| 12 | Συγκερασμένο Ευρωπαϊκό ημιτόνιο |
| 53 | κόμμα του Μερκάτορα |
| 68 | Βυζαντινό μόριο |
| 72 | Βυζαντινό μόριο |
| 301 | Savart |
| 665 | Delfi unit |
| 1200 | cent |
Θα πρέπει να τονιστεί ότι οι συγκερασμένες κλίμακες δεν χρησιμοποιούν λόγους για τον ορισμό των διαστημάτων τους αλλά αριθμός τμημάτων της βασικής τους διαίρεσης και δεν πρέπει να συγχέονται με τις φυσικές κλίμακες.
Κλίμακα 53 κομμάτων του Μερκάτορα
Όπως έχουμε πει παραπάνω το κόμμα είναι περίπου το 1/9 του τόνου ή περίπου 1/53 της οκτάβας. Αν πάρουμε το κόμμα ως μονάδα τότε η οκτάβα είναι περίπου 53 κόμματα ο μείζον τόνος 9 κόμματα, ο ελάσσων τόνος 8 κόμματα και ο ελάχιστος τόνος περίπου 5 κόμματα. Η κλίμακα του Μερκάτορα προσεγγίζει πολύ καλά την φυσική κλίμακα του Δίδυμου, όπως φαίνεται και στο επόμενο σχήμα, και χρησιμοποιείται στην θεωρία των Μακάμ από τους Τούρκους θεωρητικούς για τον ορισμό των διαστημάτων. Η κλίμακα αυτή δεν έχει σφάλμα αντίστοιχο με το κόμμα.
| κλίμακα Μερκάτορα 53 κομμάτων | ||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| φθόγγος | Do | Re | Mi | Fa | Sol | La | Si | Do | ||||||||
| κόμματα από αρχή | 0 | 9 | 17 | 22 | 31 | 40 | 48 | 52 | ||||||||
| κόμματα μεταξύ | 9 | 8 | 5 | 9 | 9 | 8 | 5 | |||||||||
| αναλογία από αρχή | 1 | 1,124911 | 1,248994 | 1,333386 | 1,499941 | 1,687301 | 1,873402 | 2 | ||||||||
| αναλογία μεταξύ | 1,124911 | 1,110295 | 1,067577 | 1,124911 | 1,124911 | 1,110295 | 1,067577 | |||||||||
| cents από αρχή | 0 | 203,77 | 384,91 | 498,11 | 701,89 | 905,66 | 1086,79 | 1200 | ||||||||
| cents μεταξύ | 203,77 | 181,13 | 113,21 | 203,77 | 203,77 | 181,13 | 113,21 | |||||||||
Ίσα συγκερασμένη κλίμακα 12 ημιτονίων
Μετά την εμφάνιση των πληκτροφόρων οργάνων, και την ανάδειξή τους μέσα από τις συνθέσεις, προτάθηκε η ίσα συγκερασμένη κλίμακα των 12 ημιτονίων που έλυνε πρακτικά προβλήματα τόσο στην κατασκευή των οργάνων όσο και στην χρήση της θεωρίας της αρμονίας η οποία βασίζεται στις συγχορδίες. Η κλίμακα αυτή καθιερώθηκε στην Δυτική μουσική παράδοση και σχεδόν εξαφάνισε όλες τις άλλες. Η κλίμακα δομείται με διαστήματα τόνων (που είναι δύο ημιτόνια) και ημιτονίων και γενικά έχει σκληρό άκουσμα. Το ημιτόνιο ορίζεται σαν το μισό του τόνου.
| Ίσα συγκερασμένη κλίμακα 12 ημιτονίων | ||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| φθόγγος | Do | Re | Mi | Fa | Sol | La | Si | Do | ||||||||
| ημιτόνια από αρχή | 0 | 2 | 4 | 5 | 7 | 9 | 11 | 12 | ||||||||
| ημιτόνια μεταξύ | 2 | 2 | 1 | 2 | 2 | 2 | 1 | |||||||||
| αναλογία από αρχή | 1 | 1,122462 | 1,259921 | 1,33484 | 1,498307 | 1,681793 | 1,887749 | 2 | ||||||||
| αναλογία μεταξύ | 1,122462 | 1,122462 | 1,059463 | 1,122462 | 1,122462 | 1,122462 | 1,059463 | |||||||||
| cents από αρχή | 0 | 200 | 400 | 500 | 700 | 900 | 1100 | 1200 | ||||||||
| cents μεταξύ | 200 | 200 | 100 | 200 | 200 | 200 | 100 | |||||||||